Question

【題目】已知球O是正三棱錐（底面為正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）A﹣BCD的外接球，BC=3，AB=2 ，點E在線段BD上，且BD=3BE，過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[2π，4π]
【解析】解：如圖，設△BDC的中心為O1 ， 球O的半徑為R， 連接oO1D，OD，O1E，OE，
則 ，AO1= ，
在Rt△OO1D中，R2=3+（3﹣R）2 ， 解得R=2，
∵BD=3BE，∴DE=2
在△DEO1中，O1E=
∴
過點E作圓O的截面，當截面與OE垂直時，截面的面積最小，
此時截面圓的半徑為 ，最小面積為2π．
當截面過球心時，截面面積最大，最大面積為4π．
所以答案是[2π，4π]

【考點精析】本題主要考查了球內接多面體的相關知識點，需要掌握球的內接正方體的對角線等于球直徑;長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長才能正確解答此題．