Question

(本小題滿分12分)
如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，且CD=2AB．

（1）若AB=AD=,直線PB與CD所成角為，
①求四棱錐P－ABCD的體積；
②求二面角P－CD－B的大小；
（2）若E為線段PC上一點，試確定E點的位置，使得平面EBD垂直于平面ABCD，并說明理由．

Answer 1

（1）(1)V_P－ABCD=·PA·S_ABCD=a³．(2)二面角P－CD－B為45⁰．
(2) 當點E在線段PC上，且滿足PE ：EC="2" ：1時，平面EBD垂直于平面ABCD．見解析。

試題分析：
(1)∵AB∥CD，∴∠PBA是PB與CD所成角，
從而可以得到V_P－ABCD=·PA·S_ABCD=a³，又因為 ∵AB⊥AD，CD∥AB∴CD⊥AD
又PA⊥底面ABCD∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角，進而解得。
(2) 當點E在線段PC上，且滿足PE ：EC="2" ：1時，平面EBD垂直于平面ABCD．
結合猜想，運用面面垂直判定定理得到。
（1）∵AB∥CD，∴∠PBA是PB與CD所成角，
即∠PBA=45⁰ ，∴在直角△PAB中，PA=AB=a 
(1)V_P－ABCD=·PA·S_ABCD=a³．
(2)∵AB⊥AD，CD∥AB
∴CD⊥AD
又PA⊥底面ABCD
∴PA⊥CD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD
∴∠PDA是二面角P－CD－B的平面角
在直角△PDA中,∵PA=AD=a
∴∠PDA=45⁰
即二面角P－CD－B為45⁰．
(2) 當點E在線段PC上，且滿足PE ：EC="2" ：1時，平面EBD垂直于平面ABCD．
理由如下：連AC、BD交于O點，連EO.
由△AOB∽△COD，且CD=2AB
∴CO=2AO
∴PE:EC="AO:CO" =1:2
∴PA∥EO 
∵PA⊥底面ABCD，
∴EO⊥底面ABCD.
又EO在平面EBD內，
∴平面EBD垂直于平面ABCD  
點評：解決該試題的關鍵熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到空間中點、線、面的位置關系，結合有關定理進行證明即可，并且也有利于建立空間之間坐標系，利用向量的有關知識解決空間角與空間距離等問題．