Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足4nSn=（n+1）2an（n∈N*）．a1=1
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）設bn= ，數列{bn}的前n項和為Tn ， 求證：Tn ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵4nSn=（n+1）2an（n∈N*），（1）
∴4（n﹣1）Sn﹣1=n2an﹣1 ， （2）
由（1）（2），得：an=Sn﹣Sn﹣1= an﹣ an﹣1（n≥2），
整理得： = = =1，
∴an=n3 ．
（Ⅱ）證明：∵bn= ，a1=1，
∴b1=1
當n≥2時，bn= ＜ = ﹣ ，
∴數列{bn}的前n項和為Tn=b1+b2+…+bn＜1+ + + +…+
＜1+ +（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）= ﹣ ＜
【解析】（Ⅰ）利用遞推關系式可得an=Sn﹣Sn﹣1= an﹣ an﹣1 ， 整理得： = = =1，于是可求an；（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=n3 ， 則bn= = ，當n≥2時，利用放縮法得：bn= ＜ = ﹣ ，從而可證：Tn＜ ．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)．