Question

【題目】已知函數在點處的切線方程為.

（1）求、；

（2）設曲線與軸負半軸的交點為點，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的實數，都有；

（3）若關于的方程有兩個實數根，，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）將點代入切線方程得出，并求出函數的導數，由求出、的值；

（2）求出點的坐標，并利用導數求出函數在點處切線對應的函數，然后構造函數，利用導數證明出；

（3）求出方程的根，利用函數的單調性證明出，設函數在原點處的切線對應的函數為，易得的根為，由函數的單調性得出，再利用不等式的性質可證明結論成立.

（1）將代入切線方程中，有，

所以，即，

又，所以，

若，則，與矛盾，故；

（2）由（1）可知，令，有或，

故曲線與軸負半軸的唯一交點為.

曲線在點處的切線方程為，則，

令，則，

所以，.

當時，若，，

若，，在上單調遞增，，故，在上單調遞減，

當時，由知在時單調遞增，，函數在上單調遞增.

所以，即成立；

（3），設的根為，則，

又單調遞減，且，所以，

設曲線在點處的切線方程為，有，

令，，

當時，，

當時，，

故函數在上單調遞增，又，

所以當時，，當時，，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以，即，

設的根為，則，

又函數單調遞增，故，故.

又，所以.