Question

已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的右頂點為A(1,0),過C1的焦點且垂直長軸的弦長為1.

(1)求橢圓C1的方程;

(2)設點P在拋物線C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在點P處的切線與C1交于點M,N.當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時,求h的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）+x2=1 （2）1

【解析】

解:(1)由題意,得

從而

因此,所求的橢圓方程為+x2=1.

(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),

P(t,t2+h),

則拋物線C2在點P處的切線斜率為

y′|x=t=2t,

直線MN的方程為:

y=2tx-t2+h.

將上式代入橢圓C1的方程中,

得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,

即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.①

因為直線MN與橢圓C1有兩個不同的交點,

所以①式中的

Δ1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.②

設線段MN的中點的橫坐標是x3,

則x3==.

設線段PA的中點的橫坐標是x4,

則x4=.

由題意,得x3=x4,

即t2+(1+h)t+1=0.③

由③式中的

Δ2=(1+h)2-4≥0,

得h≥1或h≤-3.

當h≤-3時,h+2<0,4-h2<0,

則不等式②不成立,

所以h≥1.

當h=1時,代入方程③得t=-1,

將h=1,t=-1代入不等式②,檢驗成立.

所以h的最小值為1.