Question

規定其中，為正整數，且=1，這是排列數(是正整數，)的一種推廣．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ）排列數的兩個性質：①，②(其中m，n是正整數)．是否都能推廣到(，是正整數)的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由；
(Ⅲ）已知函數，試討論函數的零點個數．

Answer 1

（1）-990
（2）①，②()
（3）當時，函數不存在零點，
當時，函數有且只有一個零點，
當時，即函數有且只有兩個零點.

試題分析：解：（Ⅰ）
（Ⅱ）性質①、②均可推廣，推廣的形式分別是①，②()
證明：①當時，左邊，右邊，等式成立；
當時，左邊

因此，()成立.
②當時，左邊右邊，等式成立；
當時，左邊



=右邊
因此，()成立.
(Ⅲ）
設函數，
則函數零點的個數等價于函數與公共點的個數.
的定義域為

令，得

	-	0	+
	減		增

∴當時，函數與沒有公共點，即函數不存在零點，
當時，函數與有一個公共點，即函數有且只有一個零點，
當時，函數與有兩個公共點，即函數有且只有兩個零點.
點評：主要是考查了函數零點的求解以及組合數和排列數公式的運用，屬于中檔題。