Question

已知函數，，（1）若，求函數的極值；
（2）若函數在上單調遞減，求實數的取值范圍；
（3）在函數的圖象上是否存在不同的兩點，使線段的中點的橫坐標與直線的斜率之間滿足？若存在，求出；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）極大值為0，無極小值;（2）;（3）不存在.

試題分析：（1）先求函數定義域，然后求導，判斷單調性，根據單調性求極值；（2）因為函數在上單調遞減，所以對恒成立，得到，下面只需求出
的最大值就行；（3）先假設存在，設出點得到，判斷方程無根，所以不存在兩點.
試題解析：（1）的定義域為                  1分
，                2分
故，單調遞增；
，單調遞減，       3分
時，取得極大值，無極小值。           4分
（2），，
若函數在上單調遞減，
則對恒成立             5分
，只需      6分
時，，則，，   7分
故，的取值范圍為             8分
（3）假設存在，不妨設，
         9分
                10分
由得，整理得   11分
令，， 12分，
∴在上單調遞增，               13分
∴，故
∴不存在符合題意的兩點。          14分.