Question

 

設(shè)函數(shù)．?dāng)?shù)列滿足，．

（Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）設(shè)，整數(shù)．證明：．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：

（Ⅰ）證明：，

故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)；

（Ⅱ）證明：（用數(shù)學(xué)歸納法）（i）當(dāng)n=1時(shí)，，，

由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數(shù)，，即成立；

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即

那么當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間是增函數(shù)，得

.故，即時(shí)，也成立；

根據(jù)（�。�、（ⅱ）可得對(duì)任意的正整數(shù)，恒成立.

 （Ⅲ）證明：若存在，則由知命題成立。

若對(duì)于任意，均有，則

 …………..(1)

,故，又因，即

所以（1）可化為。

故。