Question

已知公差不為零的等差數列{a_n}的前5項和為30，且a₂為a₁和a₄的等比中項．
（1）求{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n；
（2）若數列{b_n}滿足

bn+1

bn

=

Sn

n

（n∈N^*），且b₁=1，求數列{

n

bn+1

}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）根據條件建立方程關系求出等差數列的首項和公差，即可求{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n；
（2）求出數列{b_n}的通項公式，利用裂項法即可求出數列的和．

解答： 解：（1）設公差為d（d≠0），則

5a1+10d=30 (a1+d)2=a1(a1+3d)

⇒

a1=2 d=2

，
∴a_n=2n，S_n=n（n+1）；
（2）由（1）

bn+1

bn

=

Sn

n

=n+1，
當n≥2時，

bn

b1

=

b2

b1

?

b3

b2

???

bn

bn-1

=2?3?4???n=n!，
則b_n=n!，則

n

bn+1

=

n

(n+1)!

=

n+1-1

(n+1)!

=

1

n!

-

1

(n+1)!

，
∴數列{

n

bn+1

}的前n項和Tn=(

1

1!

-

1

2!

)+(

1

2!

-

1

3!

)+(

1

3!

-

1

4!

)+???+(

1

n!

-

1

(n+1)!

)=1-

1

(n+1)!

．

點評：本題主要考查等差數列的通項公式和前n項和的計算，以及利用裂項法進行求和，考查學生的計算能力．