Question

【題目】已知函數（a為負整數）的圖像經過點.

（1）求的解析式；

（2）設函數，若在上解集非空，求實數b的取值范圍；

（3）證明：方程有且僅有一個解．

Answer 1

【答案】（1）．（2）（3）見解析﹔

【解析】

（1）在中令得，故，因為為負整數，所以為正整數，當時，利用判別式可判斷此不等式無解，所以，解得，從而可得的解析式；

（2）在，上解集非空轉化為在，上有解，再構造函數轉化為最小值可得；（3）即證與的圖象有且只有一個交點，證明時，與的圖象無交點，在上有且只有一個零點，即得證.

（1）在中令得，

，

因為為負整數，所以為正整數，

當時，，因為△，所以

無解，

所以，解得或，所以，

，

（2）在，上解集非空在，上有解，

令，則，

因為函數在，上是減函數，

所以時，（3），

故．

（3）證明：即證與的圖象有且只有一個交點，

當時，，

即時，與的圖象無交點，

當時，令，

因為函數在上為遞減函數，函數在上為遞減函數，

所以在上為遞減函數（減函數+減函數=減函數），

又時，，時，，根據零點存在性定理知：在上有且只有一個零點，

綜上得有且只有一個解．