Question

已知函數f(x)＝x²＋mx＋n的圖象過點(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)對任意實數都成立，函數y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關于原點對稱．
(1)求f(x)與g(x)的解析式；
(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函數，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

（1）g(x)＝－x²＋2x（2）(－∞，0]．

(1)因為函數f(x)滿足f(－1＋x)＝f(－1－x)對任意實數都成立，
所以圖象關于x＝－1對稱，即－＝－1，即m＝2.
又f(1)＝1＋m＋n＝3，所以n＝0，所以f(x)＝x²＋2x.
又y＝g(x)與y＝f(x)的圖象關于原點對稱，
所以－g(x)＝(－x)²＋2(－x)，
所以g(x)＝－x²＋2x.
(2)由(1)知，F(x)＝(－x²＋2x)－λ(x²＋2x)＝－(λ＋1)x²＋(2－2λ)x.
當λ＋1≠0時，F(x)的對稱軸為x＝，
因為F(x)在(－1，1]上是增函數，
所以或
所以λ<－1或－1<λ≤0.
當λ＋1＝0，即λ＝－1時，F(x)＝4x顯然成立．
綜上所述，實數λ的取值范圍是(－∞，0]．