Question

對于函數(shù)f(x)，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，求f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；
(2)若對任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）－1，3（2）0<a<1

(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，f(x)＝x²－x－3，由題意可知x＝x²－x－3，得x₁＝－1，x₂＝3，故當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，f(x)的不動(dòng)點(diǎn)是－1，3.
(2)∵f(x)＝ax²＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，∴x＝ax²＋(b＋1)x＋b－1，即ax²＋bx＋b－1＝0恒有兩相異實(shí)根，∴Δ＝b²－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立．于是Δ′＝(4a)²－16a<0，解得0<a<1，故當(dāng)b∈R，f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，0<a<1