Question

27、已知：平面α∩平面β=直線a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直線b．
求證：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．

Answer 1

分析：（1）在γ內任取一點P并于γ內作直線PM⊥AB，PN⊥AC，由面面垂直的性質得PM⊥α，PM⊥a； 同理證明PN⊥a，這樣a垂直于面γ內的2條相交直線，從而a⊥γ．
（2）通過α，β同垂直于平面γ，又同平行于直線b，利用線面平行的性質定理證明，b∥a，由（1）知a⊥γ，從而證得b⊥γ．

解答：證明：（1）設α∩γ=AB，β∩γ=AC．
在γ內任取一點P并于γ內作直線PM⊥AB，PN⊥AC．
∵γ⊥α，
∴PM⊥α．
而a?α，
∴PM⊥a．
同理PN⊥a．又PM?γ，PN?γ，
∴a⊥γ．
（2）于a上任取點Q，過b與Q作一平面交α于直線a₁，交β于直線a₂．∵b∥α，∴b∥a₁．
同理b∥a₂．∵a₁，a₂同過Q且平行于b，
∵a₁，a₂重合．
又a₁?α，a₂?β，
∴a₁，a₂都是α、β的交線，即都重合于a．∵b∥a₁，∴b∥a．
而a⊥γ，
∴b⊥γ．

點評：本題考查證明線面垂直的證明方法．