Question

給出下列四個命題：
①命題“?x∈R，x²≥0”的否定是“?x∈R，x²≤0”；
②線性相關系數r的絕對值越接近于1，表明兩個隨機變量線性相關性越強；
③若a，b∈[0，1]，則不等式a²+b²＜

1

4

成立的概率是

π

4

；
④函數y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒為正，則實數a的取值范圍是（-∞，

5

2

）．
其中真命題的序號是

②④

．（填上所有真命題的序號）

Answer 1

分析：根據含有量詞命題的否定法則，得到①是錯誤的；根據線性相關系數的定義，得到②是正確的；根據直角坐標系中，點（a，b）對應的圖形的面積，利用幾何概率模型公式得到③是錯誤的；根據對數的運算法則，結合討論二次函數在區間[2，+∞）的最小值，得到④正確．

解答：解：對于①，命題“?x∈R，x²≥0”是一個全稱命題，
它的否定應該是先改量詞為存在，再否定結論，
故它的否定應該是：“?x∈R，x²＜0”，故①錯誤；
對于②，根據線性相關系數r的定義，兩個隨機變量的線性相關系數r的絕對值越接近于1，
說明它們的相關程度就越大，相關性就越強．
而r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系．因此②正確；
對于③，若a，b∈[0，1]，則點M（a，b）落在區域是邊長為1的正方形內，
不等式a²+b²＜

1

4

相對應的區域是以原點為圓心，半徑為

1

2

的圓在第一象限內的扇形，
本題轉化為向正方形內隨機投一個點，它能落在扇形內的概率，
所以不等式a²+b²＜

1

4

成立的概率等于P=

1 4 π•( 1 2 )2

1×1

=

π

16

，故③錯誤；
對于④，函數y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒為正，即
x²-ax+2＞1在[2，+∞）上恒成立，故x²-ax+1＞0
記F（x）=x²-ax+1，
（1）當a≥4時，F（x）在區間（2，

a

2

）上是減函數，
在區間（

a

2

，+∞）上是增函數，
故最小值為F（

a

2

）=1-

1

4

a²＞0，可得a∈Φ；
（2）當a＜4時，F（x）在[2，+∞）上為增函數，
故最小值為F（2）=5-2a＞0，可得a∈（-∞，

5

2

），
綜上所述，實數a的取值范圍是（-∞，

5

2

），故④正確．
故答案為②④

點評：本題借助于命題真假的判斷為載體，著重考查了幾何概型、函數的最值和不等式恒成立等知識點，屬于中檔題．