Question

【題目】已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，點在拋物線上，直線與拋物線交于另一點.

（1）設直線，的斜率分別為，，求證：常數；

（2）①設的內切圓圓心為的半徑為，試用表示點的橫坐標；

②當的內切圓的面積為時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②.

【解析】

（1）設過的直線交拋物線于，，聯立，利用直線的斜率公式和韋達定理表示出，化簡即可；

（2）由（1）知點在軸上，故，設出直線方程，求出交點坐標，因為內心到三角形各邊的距離相等且均為內切圓半徑，列出方程組求解即可.

（1）設過的直線交拋物線于，，

聯立方程組，得：.

于是，有：

，

又，

；

（2）①由（1）知點在軸上，故，聯立的直線方程：.

，又點在拋物線上，得，

又，

；

②由題得，

（解法一）

所以直線的方程為

（解法二）

設內切圓半徑為，則.設直線的斜率為，則：

直線的方程為：代入直線的直線方程，

可得

于是有：

得，

又由（1）可設內切圓的圓心為則，

即：，解得：

所以，直線的方程為：.