Question

【題目】意大利人斐波那契在1202年寫的《計算之書》中提出一個兔子繁殖問題：假設一對剛出生的小兔一個月后能長成大兔，再過一個月便能生下一對小兔，此后每個月生一對小兔，如此，設第n個月的兔子對數為，則，，，，，….考查數列的規律，不難發現，（），我們稱該數列為斐波那契數列.

（1）若數列的前n項和為，滿足，（，），試判斷數列是否構成斐波那契數列，說明理由；

（2）若數列是斐波那契數列，且，求證：數列是等比數列；

（3）若數列是斐波那契數列，求數列的前n項和.

Answer 1

【答案】（1）是斐波那契數列；詳見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）利用證得，同時計算出，證得結論；

（2）變形與比較，同時計算出，得證等比數列；

（3）由（2）得，即，此式可變形為，化簡得，這樣由等比數列通項公式得，從而得，再分組后由等比數列的前項和公式可得．

解：（1）因為，（，）.

所以①，②

②－①得，又，故是斐波那契數列；

（2）因為，所以

，即，

即，所以是以為首項，為公比的等比數列；

（3）由（2）得，即，

令，化簡得，

因為，所以

即是以為首項，為公比的等比數列，故

即；

所以

.