Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，AB=3，AC=2，側棱與底面成60°角．
（1）求證：AC⊥面ABC₁；
（2）求證：C₁點在平面ABC上的射影H在直線AB上；
（3）求此三棱柱體積的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據棱柱的性質，我們可得A₁C₁∥AC，又由已知中A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，我們根據線面垂直的判定定理可得AC⊥面ABC₁；
（2）根據（1）的結論，由線面垂直的判定定理可得平面ABC⊥平面ABC₁，在平面ABC₁內，過C₁作C₁H⊥AB于H，則C₁H⊥平面ABC，即C₁點在平面ABC上的射影H在直線AB上；
（3）連接HC，由（2）的結論可得C₁H⊥平面ABC，即∠C₁CH就是側棱CC₁與底面所成的角，由已知中側棱與底面成60°角，故可得當CH=AC時，棱柱的體積取最小值，求出棱柱的底面積和高，代入棱柱體積公式即可得到答案．

解答：證明：（1）由棱柱性質，可知A₁C₁∥AC，∵A₁C₁⊥BC₁，
∴AC⊥BC₁，又∵AC⊥AB，∴AC⊥平面ABC₁
（2）由（1）知AC⊥平面ABC₁，又AC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABC₁，
在平面ABC₁內，過C₁作C₁H⊥AB于H，則C₁H⊥平面ABC
故點C₁在平面ABC上的射影H在直線AB上．
解：（3）連接HC，由（2）知C₁H⊥平面ABC，
∴∠C₁CH就是側棱CC₁與底面所成的角，
∴∠C₁CH=60°，C₁H=CH•tan60°=

3

CH
V_棱柱=S△ABC•C1H=

1

2

AB×AC×C1H=

1

2

×3×2×

3

CH=3

3

CH
∵CA⊥AB，∴CH≥AC=2，
所以棱柱體積最小值3

3

×2=6

3

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱柱的體積，空間線面關系，其中熟練掌握空間直線與平面平行或垂直的判定、性質、定義及幾何特征是解答本題的關鍵．