Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）設，證明：對任意，.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）當時，求函數的導數即可求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）將不等式進行轉化，即可得到結論.

詳解：（Ⅰ）當時，，．

∴，

∴曲線在處的切線方程為．

（Ⅱ）∵， f（x）的定義域為（0，+），，

∴f（x）在（0，+）上單調遞減．

不妨假設x1≥x2，那么等價于≥4x1－4x2，

即f（x2）+ 4x2≥f（x1）+ 4x1．

令g（x）=f（x）+4x，則+4＝．

∵，，∴≤＝≤0．

從而g（x）在（0，+）單調減少，故g（x1）≤g（x2），即f（x1）+ 4x1≤f（x2）+ 4x2，

故對任意x1，x2∈（0，+） ，．