Question

A．選修4-1幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D．
求證：ED²=EB•EC．
B．矩陣與變換
已知矩陣A=，，求滿足AX=B的二階矩陣X．
C．選修4-4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)
若兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為ρ=1與ρ=2cos（θ+），它們相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．
D．選修4-5 不等式證明選講設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：a³+b³+c³+≥2．

Answer 1

【答案】分析：A、由切割線定理可得 EA²=EB•EC，證明∠EAD=∠EDA，△EAD為等腰三角形，得EA=ED，從而ED²=EB•EC 成立．
B、設(shè) X=，求出AX，再由AX=B，解方程組求得a、b、c、d的值，接口求得X．
C、把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，她們都表示圓，求出它們的圓心和半徑，由弦長公式求出弦長AB的值．
D、利用基本不等式證明要證的不等式，注意檢驗(yàn)等號成立的條件．
解答：解：A 由切割線定理可得 EA²=EB•EC．
再由同弧所對的圓周角等于該弧所對的弦切角可得∠ABC=∠CAE．
又AD是∠BAC的平分線，故有∠BAD=∠CAD．
再由∠EAD=∠EAC+∠CAD，∠EDA=∠BAD+∠ABC 可得∠EAD=∠EDA．
故△EAD為等腰三角形，故有EA=ED，
∴ED²=EB•EC．
B 設(shè) X=，則AX=]=．
又AX=B=[]，∴，解得 ，
故X=．
C 曲線ρ=1與  即 x²+y²=1，表示以O(shè)（0，0）為圓心，以1為半徑的圓．
曲線ρ=2cos（θ+），即 ρ²=2ρ（- ），即+=1，
表示以A（，-）為圓心，以1為半徑的圓．
把兩圓的方程相減可得兩圓的公共弦所在的直線方程為 x-y-1=0，
O到弦的距離等于=，由弦長公式求得線段AB的長為2=．
D 證明：因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，所以a³+b³+c³≥3=3abc＞0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號成立．
又3abc+≥2，當(dāng)且僅當(dāng) 3abc=時(shí)，等號成立．
所以，a³+b³+c³+≥2 ．
點(diǎn)評：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，與圓有關(guān)的比例線段，矩陣運(yùn)算以及極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的方法，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．