Question

（2011•南京模擬）A．選修4-1幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線相交于點E，∠BAC的平分線與BC交于點D．
求證：ED²=EB•EC．
B．矩陣與變換
已知矩陣A=

2 -1 -4 3

，

4 -1 -3 1

，求滿足AX=B的二階矩陣X．
C．選修4-4 參數方程與極坐標
若兩條曲線的極坐標方程分別為ρ=1與ρ=2cos（θ+

π

3

），它們相交于A，B兩點，求線段AB的長．
D．選修4-5 不等式證明選講設a，b，c為正實數，求證：a³+b³+c³+

1

abc

≥2

3

．

Answer 1

分析：A、由切割線定理可得 EA²=EB•EC，證明∠EAD=∠EDA，△EAD為等腰三角形，得EA=ED，從而ED²=EB•EC 成立．
B、設 X=

a b c d

，求出AX，再由AX=B，解方程組求得a、b、c、d的值，接口求得X．
C、把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，她們都表示圓，求出它們的圓心和半徑，由弦長公式求出弦長AB的值．
D、利用基本不等式證明要證的不等式，注意檢驗等號成立的條件．

解答：解：A 由切割線定理可得 EA²=EB•EC．
再由同弧所對的圓周角等于該弧所對的弦切角可得∠ABC=∠CAE．
又AD是∠BAC的平分線，故有∠BAD=∠CAD．
再由∠EAD=∠EAC+∠CAD，∠EDA=∠BAD+∠ABC 可得∠EAD=∠EDA．
故△EAD為等腰三角形，故有EA=ED，
∴ED²=EB•EC．
B 設 X=

a b c d

，則AX=

2 -1 -4 3

a b c d

]=

2a-c 2b-d -4a+3c -4b+3d

．
又AX=B=[

4 -1 -3 1

]，∴

2a-c=4 2b-d=-1 -4a+3c=-3 -4b+3d=1

，解得

a= 9 2 b=-1 c=5 d=-1

，
故X=

4.5 -1 5 -1

．
C 曲線ρ=1與  即 x²+y²=1，表示以O（0，0）為圓心，以1為半徑的圓．
曲線ρ=2cos（θ+

π

3

），即 ρ²=2ρ（

1

2

cosθ-

3

2

sinθ ），即(x-

1

2

)2+(y+

3

2

)2=1，
表示以A（

1

2

，-

3

2

）為圓心，以1為半徑的圓．
把兩圓的方程相減可得兩圓的公共弦所在的直線方程為 x-

3

y-1=0，
O到弦的距離等于

|0-0-1|

1+3

=

1

2

，由弦長公式求得線段AB的長為2

1- 1 4

=

3

．
D 證明：因為a，b，c為正實數，所以a³+b³+c³≥3

3	a3b3c3

=3abc＞0，當且僅當a=b=c時，等號成立．
又3abc+

1

abc

≥2

3

，當且僅當 3abc=

1

abc

時，等號成立．
所以，a³+b³+c³+

1

abc

≥2 

3

．

點評：本題主要考查基本不等式的應用，與圓有關的比例線段，矩陣運算以及極坐標化為直角坐標的方法，直線和圓的位置關系的應用，屬于中檔題．