Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為2，求的值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)為、，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（3）證明見解析

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.

（2）令，化簡，判別式，討論的正負(fù)，從而確定的正負(fù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解.

（3）由（2）可知，，，由，，求出，利用換元法令，將不等式轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證出函數(shù)在單調(diào)遞增，由即可證出.

（1），，∴

（2）令即，

當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，，，

，，

在，單調(diào)遞增

在單調(diào)遞減.

（3）由（2）可知，，，

，

令

則，只需證明

，（只需證明即可）

，

∴，在單調(diào)遞增

，得證.