Question

【題目】如圖，設橢圓C： +y2=1（a＞1）

（1）求直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長（用a，k表示）
（2）若任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點，求橢圓的離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

由題意可得： ，可得：（1+a2k2）x2+2ka2x=0，

得x1=0或x2= ，

直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長為： =

（2）

假設圓A與橢圓由4個公共點，由對稱性可設y軸左側的橢圓上有兩個不同的點P，Q，滿足|AP|=|AQ|，

記直線AP，AQ的斜率分別為：k1，k2；且k1，k2＞0，k1≠k2，由（1）可知|AP|= ，|AQ|= ，

故： = ，所以，（k12﹣k22）[1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22]=0，由k1≠k2，

k1，k2＞0，可得：1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22=0，

因此 a2（a2﹣2）①，

因為①式關于k1，k2；的方程有解的充要條件是：1+a2（a2﹣2）＞1，

所以a＞ ．

因此，任意點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點的充要條件為：1＜a＜2，

e= = 得，所求離心率的取值范圍是：

【解析】（1）聯立直線y=kx+1與橢圓方程，利用弦長公式求解即可．（2）寫出圓的方程，假設圓A與橢圓由4個公共點，再利用對稱性有解已知條件可得任意一A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，a的取值范圍，進而可得橢圓的離心率的取值范圍．本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，橢圓與圓的位置關系的綜合應用，考查分析問題解決問題的能力，考查轉化思想以及計算能力．