Question

【題目】A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗．每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效．若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組．設每只小白鼠服用A有效的概率為 ，服用B有效的概率為 ．
（Ⅰ）求一個試驗組為甲類組的概率；
（Ⅱ）觀察3個試驗組，用ξ表示這3個試驗組中甲類組的個數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】解：（1）設Ai表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2， Bi表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依題意有：P（A1）=2× × = ，P（A2）= × = ．P（B0）= × = ，
P（B1）=2× × = ，所求概率為：
P=P（B0A1）+P（B0A2）+P（B1A2）
= × + × + × =
（Ⅱ）ξ的可能值為0，1，2，3且ξ～B（3， ）．
P（ξ=0）=（ ）3= ，
P（ξ=1）=C31× ×（ ）2= ，
P（ξ=2）=C32×（ ）2× = ，
P（ξ=3）=（ ）3=
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

∴數學期望Eξ=3× =
【解析】（1）由題意知本題是一個獨立重復試驗，根據所給的兩種藥物對小白鼠有效的概率，計算出小白鼠有效的只數的概率，對兩種藥物有效的小白鼠進行比較，得到甲類組的概率．（2）由題意知本試驗是一個甲類組的概率不變，實驗的條件不變，可以看做是一個獨立重復試驗，所以變量服從二項分布，根據二項分布的性質寫出分布列和期望．
【考點精析】認真審題，首先需要了解離散型隨機變量及其分布列(在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列)．