Question

已知橢圓C經過點M，其左頂點為N，兩個焦點為（-1，0），（1，0），平行于MN的直線l交橢圓于A，B兩個不同的點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意設出橢圓方程，把點M的坐標代入橢圓方程，結合隱含條件a²=b²+c²可求解a²，b²，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）由橢圓方程求出頂點N的坐標，求出MN的斜率，設出直線l的斜截式方程，和橢圓聯立后利用根與系數的關系求出A，B兩點的橫坐標的和與積，由兩點式寫出MA和MB的斜率，作和后化為含有直線l的截距的代數式，整理得到結果為0，所以結論得證．
解答：（Ⅰ）解：設橢圓的方程為（a＞b＞0），因為過點，
所以 ①
又c=1，所以a²=b²+c²=b²+1 ②
由①②可得a²=4，b²=3．
故橢圓C的方程為；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，所以．
故設直線l：，
聯立，得x²+mx+m²-3=0．
∴．
∴
=
==1-1=0．
故直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．
點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法和學生的計算能力，屬難題．