Question

（2013•臨沂三模）已知橢圓C經過點M(1，

3

2

)，其左頂點為N，兩個焦點為（-1，0），（1，0），平行于MN的直線l交橢圓于A，B兩個不同的點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意設出橢圓方程，把點M的坐標代入橢圓方程，結合隱含條件a²=b²+c²可求解a²，b²，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）由橢圓方程求出頂點N的坐標，求出MN的斜率，設出直線l的斜截式方程，和橢圓聯立后利用根與系數的關系求出A，B兩點的橫坐標的和與積，由兩點式寫出MA和MB的斜率，作和后化為含有直線l的截距的代數式，整理得到結果為0，所以結論得證．

解答：（Ⅰ）解：設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），因為過點M(1，

3

2

)，
所以

1

a2

+

9

4b2

=1 ①
又c=1，所以a²=b²+c²=b²+1 ②
由①②可得a²=4，b²=3．
故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，N(-2，0)，M(1，

3

2

)，所以kMN=

3 2 -0

1-(-2)

=

1

2

．
故設直線l：y=

1

2

x+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯立

x2 4 + y2 3 =1 y= 1 2 x+m

，得x²+mx+m²-3=0．
∴x1+x2=-m，x1x2=m2-3．
∴kMA+kMB=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=

1 2 x1+m- 3 2

x1-1

+

1 2 x2+m- 3 2

x2-1

=1+

m-1

x1-1

+

m-1

x2-1

=1+(m-1)•

x1+x2-2

x1x2-(x1+x2)+1

=1+(m-1)•

-m-2

m2-3+m+1

=1-

(m-1)(m+2)

m2+m-2

=1-1=0．
故直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法和學生的計算能力，屬難題．