Question

【題目】已知函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）= ，若關于x的方程[f（x）]2+af（x）+ =0，a∈R有且僅有8個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是

Answer 1

【答案】（ ， ）
【解析】解：當0≤x≤2時，y=﹣ x2遞減，當x＞2時，y=﹣（ ）x﹣ 遞增，
由于函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，
則f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上遞減，在（﹣2，0）和（2，+∞）上遞增，
當x=0時，函數(shù)取得極大值0；
當x=±2時，取得極小值﹣1．
當0≤x≤2時，y=﹣ x2∈[﹣1，0]．
當x＞2時，y=﹣（ ）x﹣ ∈[﹣1，﹣ ）
要使關于x的方程[f（x）]2+af（x）+ =0，a∈R，
有且僅有8個不同實數(shù)根，
設t=f（x），則t2+at+ =0的兩根均在（﹣1，﹣ ）．
則有 ，即為 ，
解得 ＜a＜ ．
即有實數(shù)a的取值范圍是（ ， ）．
所以答案是：（ ， ）．

【考點精析】關于本題考查的函數(shù)奇偶性的性質和函數(shù)的零點與方程根的關系，需要了解在公共定義域內，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；二次函數(shù)的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數(shù)的圖象與 軸無交點，二次函數(shù)無零點才能得出正確答案．