Question

過點M(2，－2p)作拋物線x²＝2py(p>0)的兩條切線，切點分別為A，B，若線段AB的中點的縱坐標為6，則p的值是________．

Answer 1

1或2

設點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，依題意得，y′＝，切線MA的方程是y－y₁＝ (x－x₁)，即y＝x－.又點M (2，－2p)位于直線MA上，于是有－2p＝×2－，即x₁²－4x₁－4p²＝0；同理有x₂²－4x₂－4p²＝0，因此x₁，x₂是方程x²－4x－4p²＝0的兩根，則x₁＋x₂＝4，x₁x₂＝－4p².由線段AB的中點的縱坐標是6得，y₁＋y₂＝12，即＝＝12，＝12，解得p＝1或p＝2.