Question

（本小題滿分13分）已知、，橢圓C的方程為，、分別為橢圓C的兩個焦點，設為橢圓C上一點，存在以為圓心的與外切、與內切
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點作斜率為的直線與橢圓C相交于A、B兩點，與軸相交于點D，若
求的值；
（Ⅲ）已知真命題：“如果點T（）在橢圓上，那么過點T
的橢圓的切線方程為=1.”利用上述結論，解答下面問題：
已知點Q是直線上的動點，過點Q作橢圓C的兩條切線QM、QN，
M、N為切點，問直線MN是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）橢圓C的方程為+=1
（Ⅱ）
（Ⅲ）直線MN必過定點（）

本題主要考查直線、圓、橢圓等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想
（Ⅰ）依題意可知，P與外切、內切. 設P的半徑為，則 
  -----------------------------------2分
，   2=4，2==2
=2，c="1" , 橢圓C的方程為+="1 " ------------------------4分
（Ⅱ）直線AB：y=k（x-1），由  
,令A,則，
，      ------------------------------------6分
∵
∴，
∵2=，， ------------------------------------8分
2+
=
= ，     ∴. -----------------------10分
（Ⅲ）設Q（）,M（），N（）
則切線QM：
切線QN：
∴     ∴M、N在直線上
∴ 直線MN：------------------------------------12分
又   
∴直線MN必過定點（）. ------------------------------------13分