Question

已知定點，動點B是圓F：（F為圓心）上一點，線段AB的垂直平分線交BF與P。

（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；

（Ⅱ）直線交P點的軌跡于M、N兩點，若P點的軌跡上存在點C，使

，求實數m的值；

（Ⅲ）是否存在過點的直線l交P點的軌跡于點R、T，且滿足（O為原點）？若存在，求直線l的方程，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意：∵

∴

∴P點軌跡為以A，F為焦點的橢圓

設方程為

∴

∴  ∴P點軌跡方程為

（Ⅱ）設   ∵

∴   ∴

 由，得：

∴

  ∴   

  ∵C在橢圓上，∴

  ∴    ∴

（Ⅲ）假設存在滿足題意的直線，其斜率存在，設為，設

  ∵

  ∴

  由  得  ①

∴      

∴  

  

∴    代入①

   △＞0

∴   ∴的方程為

∴存在 或滿足題意