Question

已知數列{a_n}是以d為公差的等差數列，數列{b_n}是以q為公比的等比數列．
（1）若數列{b_n}的前n項的和為S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜a₁₀₀₃+5b₂，求整數q的值；
（2）在（1）的條件下，試問數列{b_n}中是否存在一項b_k，使得b_k恰好可以表示為該數列中連續p（p∈N，p≥2）項的和？請說明理由；
（3）若b₁=a₁，b₂=a_s≠a_rb₃=a_t，（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數），求證：數列{b_n}中每一項都是數列{a_n}中的項．

Answer 1

分析：（1）由題意知，an=2n，bn=2qn-1，由S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，得b₁+b₂+b₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，由此能求出q．
（2）假設數列{b_n}中存在一項b_k，滿足b_k=b_m+b_m+1+…+b_m+p-1，因為bn=2n，所以b_k＞b_m+p-1，從而得到k≥m+p，由此能推導出這樣的項b_k不存在．
（3）由b₁=a₁，得b₂=b₁q=a₁q=a_s=a_r+（s-r）d，所以d=

ar(q-1)

s-r

．由b3 =b1q2=a1q2=at=ar+(t-r)d，知ar(q+1)(q-1)=ar(q-1)•

t-r

s-r

．由此能夠證明數列{b_n}中每一項都是數列{a_n}中的項．

解答：解：（1）由題意知，an=2n，bn=2qn-1，
所以由S₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，
得b₁+b₂+b₃＜a₁₀₀₃+5b₂-2010，
∴b₁-4b₂+b₃＜2006-2010，
∴q²-4q+3＜0，
解得1＜q＜3，又q為整數，所以q=2．
（2）假設數列{b_n}中存在一項b_k，
滿足b_k=b_m+b_m+1+…+b_m+p-1，
因為bn=2n，
∴b_k＞b_m+p-1，∴2^k＞2^m+p-1，∴k＞m+p-1，∴k≥m+p，（*）
又∵bk=2k=b_m+b_m+1+…+b_m+p-1
=2^m+2^m+1+…+2^m+p-1
=

2m(2p-1)

2-1

=2^m+p-2^m＜2^m+p，
所以k＜m+P，此與  （*）式矛盾．
所以，這樣的項b_k不存在．
（3）由b₁=a₁，得b₂=b₁q=a₁q=a_s=a_r+（s-r）d，
則d=

ar(q-1)

s-r

．
又∵b3 =b1q2=a1q2=at=ar+(t-r)d，
∴arq2-ar=(t-r)•

ar(q-1)

S-r

，
從而ar(q+1)(q-1)=ar(q-1)•

t-r

s-r

．
因為a_s≠a_r，b₁≠b₂，所以q≠1，又a_r≠0，故q=

t-r

s-r

-1．
又t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數，所以q是正整數，且q≥2．
對于數列{b_n}中任一項b_i（這里只要討論i＞3的情形），有
b_i=a1qi-1=a1+a1(qi-1-1)
=a1+a1(q-1)(1+q+q2)
=ar+d(s-r)(1+q+q2+…+qi-2)
=ar+[((s-r)(1+q+q2+…+qi-2)+1)-1]•d，
由于（s-r）（1+q+q²+…+q^i-2）+1是正整數，
所以b_i一定是數列{a_n}中的項．
故數列{b_n}中每一項都是數列{a_n}中的項．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合運用，綜合性強，難度大，對數學思維的要求較高．解題時要認真審題，注意計算能力的培養．