Question

【題目】已知函數 ，g（x）=x2﹣2bx+4，若對任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），則實數b的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[ ，+∞）
【解析】解：∵函數 ， ∴f′（x）= = = ，
若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）為增函數；
若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）為減函數；
f（x）在x∈（0，2）上有極值，
f（x）在x=1處取極小值也是最小值f（x）min=f（1）=﹣ =﹣ ；
∵g（x）=x2﹣2bx+4=（x﹣b）2+4﹣b2 ， 對稱軸x=b，x∈[1，2]，
當b＜1時，g（x）在x=1處取最小值g（x）min=g（1）=1﹣2b=4=5﹣2b；
當1＜b＜2時，g（x）在x=b處取最小值g（x）min=g（b）=4﹣b2；
當b＞2時，g（x）在[1，2]上是減函數，g（x）min=g（2）=4﹣4b+4=8﹣4b；
∵對任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，
當b＜1時，﹣ ≥5﹣2b，解得b≥ ，故b無解；當b＞2時，﹣ ≥8﹣4b，解得b≥ ，
綜上：b≥ ，
所以答案是：[ ，+∞）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解全稱命題的相關知識，掌握全稱命題：，，它的否定：，;全稱命題的否定是特稱命題．