Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓上一點（在x軸上方），連結PF1并延長交橢圓于另一點Q，設＝λ．

（1）若點P的坐標為（1，），且△PQF2的周長為8，求橢圓C的方程；

（2）若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e∈[，]，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）＋＝1；（2）[，5]

【解析】

試題分析：（1）求橢圓標準方程，實質就是要求的值，為此要找兩個關于的方程，本題由已知，把點坐標代入可得一個方程，由橢圓定義知的周長是，又可得值，從而得解；（2）本小題關鍵是建立起與離心率的關系，利用兩點在橢圓上，由軸可求得，由＝λ，可求得點坐標，把點坐標代入橢圓方程，再轉化后可得的關系（λ2＋4λ＋3）e2＝λ2－1，因為λ＋1≠0，故有λ＝，從而可得的范圍．

試題解析：（1）因為F1，F2為橢圓C的兩焦點，且P，Q為橢圓上的點，

所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，從而△PQF2的周長為4a．

由題意，得4a＝8，解得a＝2．

因為點P的坐標為（1，），所以，

解得b2＝3．

所以橢圓C的方程為．

（2）方法一：因為PF2⊥x軸，且P在x軸上方，故設P（c，y0），y0＞0．設Q（x1，y1）．

因為P在橢圓上，所以，解得y0＝，即P（c，）．

因為F1（－c，0），所以＝（－2c，－），＝（x1＋c，y1）．

由＝λ，得－2c＝λ（x1＋c），－＝λy1，

解得x1＝，y1＝－，所以Q（－c，－）．

因為點Q在橢圓上，所以（）2e2＋＝1，

即（λ＋2）2e2＋（1－e2）＝λ2，（λ2＋4λ＋3）e2＝λ2－1，

因為λ＋1≠0，

所以（λ＋3）e2＝λ－1，從而λ＝．

因為e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．

所以λ的取值范圍為[，5]．

方法二：因為PF2⊥x軸，且P在x軸上方，故設P（c，y0），y0＞0．

因為P在橢圓上，所以，解得y0＝，即P（c，）．

因為F1（－c，0），故直線PF1的方程為．

由得（4c2＋b2）x2＋2b2cx＋c2（b2－4a2）＝0．

因為直線PF1與橢圓有一個交點為P（c，）．設Q（x1，y1），

則x1＋c，即－c－x1＝．

因為，

所以λ＝＝．

因為e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．

所以λ的取值范圍為[，5]．