Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin2A=sin(

π

3

+B)sin(

π

3

-B)+sin2B．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC為銳角三角形，且a=2

5

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的三角公式將已知三角函數等式的右邊展開，再利用同角三角函數基本關系式即可得右邊恒等于

3

4

，進而由三角形內角的范圍求得A
（2）先利用余弦定理得b、c間的等式，再利用均值定理求得bc的最大值，最后由三角形面積公式求面積的最大值即可

解答：解：（1）sin2A=sin(

π

3

+B)sin(

π

3

-B)+sin2B
=（

3

2

cosB+

1

2

sinB）（

3

2

cosB-

1

2

sinB）+sin²B
=

3

4

cos²B-

1

4

sin²B+sin²B=

3

4

∴sinA=±

3

2

∴A=

π

3

或

2π

3

（2）∵△ABC為銳角三角形，∴A=

π

3

∴cosA=

b2+a2-c2

2bc

=

1

2

，a=2

5

∴b²+c²-20=bc≥2bc-20
即bc≤20 （當且僅當b=c時取等號）
∴三角形的面積S=

1

2

bcsinA≤5

3

故三角形面積的最大值為5

3

點評：本題考查了三角變換公式的應用，三角求值，余弦定理的應用，三角形面積公式，均值定理求最值