Question

已知x²-y²=1，求

1

x2

+

2y

x

范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的參數(shù)方程,簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：本題可以先利用用參數(shù)方程表示雙曲線，再利用參數(shù)方程化簡(jiǎn)所示代數(shù)式，利用配方法、結(jié)合函數(shù)圖象，研究二次函數(shù)的最值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵x²-y²=1，
∴

x=secθ y=tanθ

，（θ為參數(shù)，θ≠kπ+

π

2

，k∈Z），
∴

1

x2

+

2y

x

=cos²θ+

2tanθ

secθ

=cos²θ+sinθ
=-sin²θ+sinθ+1
=-（sinθ-

1

2

）²+

5

4

．
∵θ≠kπ+

π

2

，k∈Z，
∴sinθ∈（-1，1），
∵當(dāng)sinθ=-1時(shí)，-（sinθ-

1

2

）²+

5

4

=-

9

4

+

5

4

=-1，
當(dāng)sinθ=

1

2

時(shí)，-（sinθ-

1

2

）²+

5

4

=

5

4

，
∴-1＜

1

x2

+

2y

x

≤

5

4

．
∴

1

x2

+

2y

x

的取值范圍是：（-1，

5

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的參數(shù)方程及其應(yīng)用，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．