Question

【題目】某地在每周六的晚上8點(diǎn)到10點(diǎn)半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨(dú)立.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了其中100盞燈在一場(chǎng)燈光展中亮燈的時(shí)長（單位：），得到下面的頻數(shù)表：

亮燈時(shí)長/
頻數(shù)	10	20	40	20	10

以樣本中100盞燈的平均亮燈時(shí)長作為一盞燈的亮燈時(shí)長.

（1）試估計(jì)的值；

（2）設(shè)表示這10000盞燈在某一時(shí)刻亮燈的數(shù)目.

①求的數(shù)學(xué)期望和方差；

②若隨機(jī)變量滿足，則認(rèn)為.假設(shè)當(dāng)時(shí)，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計(jì)，在一場(chǎng)燈光展中，處于最佳燈光亮度的時(shí)長（結(jié)果保留為整數(shù)）.

附：

①某盞燈在某一時(shí)刻亮燈的概率等于亮燈時(shí)長與燈光展總時(shí)長的商；

②若，則，，.

Answer 1

【答案】（1）

（2）①，,②72

【解析】

（1）將每組數(shù)據(jù)的組中值乘以對(duì)應(yīng)的頻率，然后再將結(jié)果相加即可得到亮燈時(shí)長的平均數(shù)，將此平均數(shù)除以（個(gè)小時(shí)），即可得到的估計(jì)值；

（2）①利用二項(xiàng)分布的均值與方差的計(jì)算公式進(jìn)行求解；

②先根據(jù)條件計(jì)算出的取值范圍，然后根據(jù)并結(jié)合正態(tài)分布概率的對(duì)稱性，求解出在滿足取值范圍下對(duì)應(yīng)的概率.

（1）平均時(shí)間為（分鐘）

∴

（2）①∵，

∴，

②∵，，∴

∵，，

∴

∴

即最佳時(shí)間長度為72分鐘.