Question

【題目】已知有窮數列A：（且）.定義數列A的“伴生數列”B：，其中（），規定，.

（1）寫出下列數列的“伴生數列”：

①1，2，3，4，5；

②1，，1，，1.

（2）已知數列B的“伴生數列”C：，，…，，…，，且滿足（，2，…，n）.

（i）若數列B中存在相鄰兩項為1，求證：數列B中的每一項均為1；

（ⅱ）求數列C所有項的和.

Answer 1

【答案】（1）①1，1，1，1，1②1，0，0，0，1（2）（i）證明見解析（ⅱ）所有項的和或（n是3的倍數）

【解析】

（1）根據“伴生數列”的定義求解即可；

（2）（i）設存在，使得，討論和，結合“伴生數列”的定義證明即可；

（ⅱ）利用反證法得出不可能存在，，再對數列的前三項，，的值進行討論，當時，得出所有項的和；當，，時，得出與已知矛盾；當，，時，結合“伴生數列”的定義得出所有項的和，同理可以得出當，，及，，時，所有項的和.

解：（1）①1，1，1，1，1；

②1，0，0，0，1.

（2）（i）由題意，存在，使得.

若，即時，.

于是，.

所以，所以.即.

依次類推可得（，3，…，）.

所以（，2，…，n）.

若，由得.

于是.所以.

依次類推可得.

所以（，2，…，n）.

綜上可知，數列B中的每一項均為1.

（ⅱ）首先證明不可能存在使得.

若存在使得，

則.

又得與已知矛盾.

所以不可能存在，.

由此及（ⅰ）得數列的前三項，，的可能情況如下：

當時，由（i）可得（，2，…，n）.

于是（，2，…，n）.

所以所有項的和.

當，，時，，

此時與已知矛盾.

當，，時，，，.

于是，.

故，，

于是，，，

于是，，，且，，.

依次類推且n恰是3的倍數滿足題意.

所以所有項的和.

同理可得，，及，，時，

當且僅當n恰是3的倍數時，滿足題意.

此時所有項的和.

綜上，所有項的和或（n是3的倍數）.