Question

【題目】在直三棱柱中，，，點，分別為棱，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析下（2）

【解析】

（1）取的中點，連接，，證明，進而證得得解；（2）在平面內作交于點，以為原點，，、分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．求得平面的法向量，利用線面角的向量公式求解

（1）取的中點，連接，，

則在中，，，

又點是的中點，

所以．

而且，

所以，

所以四邊形是平行四邊形，

所以，

又平面，平面，

所以平面．

（2）在平面內作交于點，

以為原點，，、分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

設，則，，，，，

所以，，．

設平面的一個法向量為，

則即

取，得，

設直線與平面所成角為，

則．

即直線與平面所成角的正弦值為．