Question

由原點向三次曲線引切線,切于不同于點的點

，再由引此曲線的切線，切于不同于的點，如此繼續地作下去,……,得到點列，試回答下列問題： ⑴求； (2)求與的關系式；

(3)若，求證:當為正偶數時, ；當為正奇數時, .

Answer 1

⑴，⑵⑶證明略

解析:

⑴由  ①  得y′=3x²－6ax＋b.

過曲線①上點的切線的方程是：

由它過原點，有

                                       

⑵ 過曲線①上點的切線l_n+1的方程是：

,由過曲線①上點，有

∵，以除上式，得

以除之，得  

(3)方法1 由(2)得

故數列{x _n－a}是以x ₁－a=為首項,公比為－的等比數列,

 

∵，∴當為正偶數時,

當為正奇數時,                      

方法2

=

以下同解法1.