Question

已知F₁，F₂分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，如果雙曲線上存在一點P，使得F₂關于直線PF₁的對稱點恰在y軸上，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為（　　）

• A、e＞

  2 3

  3

• B、1＜e＜

  2 3

  3

• C、e＞

  3

• D、1＜e＜

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：運用對稱性，可得MF₁=F₁F₂=2c，設直線PF₁：y=

3

3

（x+c），代入雙曲線方程，得到x的二次方程，方程有兩個異號實數根，則有3b²-a²＞0，再由a，b，c的關系，及離心率公式，即可得到范圍．

解答： 解：設點F₂（c，0），
由于F₂關于直線PF₁的對稱點恰在y軸上，不妨設M在正半軸上，
由對稱性可得，MF₁=F₁F₂=2c，
則MO=

4c2-c2

=

3

c，∠MF₁F₂=60°，∠PF₁F₂=30°，
設直線PF₁：y=

3

3

（x+c），
代入雙曲線方程，可得，（3b²-a²）x²-2ca²x-a²c²-3a²b²=0，
則方程有兩個異號實數根，
則有3b²-a²＞0，即有3b²=3c²-3a²＞a²，即c＞

2 3

3

a，
則有e=

c

a

＞

2 3

3

．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的性質和方程，考查對稱性的運用，考查直線方程和雙曲線方程，聯立消去y，運用韋達定理，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．