Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）短軸端點和兩個焦點的連線構成正方形，且該正方形的內切圓方程為x²+y²=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點與橢圓C的一個焦點F重合，直線l：y=x+m與拋物線E交于兩點A，B，且0≤m≤1，求△FAB的面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據題意，得出連接橢圓一個短軸端點與一個焦點的直線方程，由直線與圓相切，求出b、c以及a的值即可；
（2）求出拋物線E的方程，由

y=x+m y2=8x

，得x²+（2m-8）x+m²=0，利用根與系數的關系，結合弦長公式，求出直線l被拋物線E所截得弦長|AB|，得出△FAB面積表達式，利用導數求出最值來．

解答： 解：（1）設橢圓的焦距為2c，根據題意得b=c；
連接一個短軸端點與一個焦點的直線方程可以是

x

c

+

y

b

=1，
即x+y-b=0；
由直線與圓相切得

|b|

2

=

2

，
∴b=2，c=2；
∴a²=b²+c²=8，
∴橢圓C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；（6分）
（2）∵拋物線E的焦點在x軸的正半軸上，
∴F（2，0），p=4，
∴拋物線E的方程為y²=8x；
由

y=x+m y2=8x

，得x²+（2m-8）x+m²=0，
由直線l與拋物線E有兩個不同交點，
得△=（2m-8）²-4m²=64-32m＞0在0≤m≤1時恒成立；
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=8-2m，x₁x₂=m²；
則|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

(8-2m)2-4m2

=8

2-m

；
又∵點F（2，0）到直線l：y=x+m的距離為d=

|m+2|

2

，
∴△FAB的面積為
S=

1

2

d•|AB|=2

2

-m3-2m2+4m+8

；
令f（m）=-m³-2m²+4m+8，
則f'（m）=-3m²-4m+4；
令f'（m）=0，得m=-2或

2

3

，
∴f（m）在[0，

2

3

]上單調遞增，在[

2

3

，1]上單調遞減，
∴當m=

2

3

時，f（m）取最大值

256

27

，
即△FAB的面積的最大值為

32 6

9

．（12分）

點評：本題考查了橢圓的定義與標準方程的應用問題，也考查了橢圓的幾何性質的應用問題，直線與橢圓的綜合應用問題，是綜合題目．