Question

【題目】已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右頂點，點滿足．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線經過點且與交于不同的兩點、，試問：在軸上是否存在點，使得直線 與直線的斜率的和為定值？若存在，請求出點的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） ，定值為1.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由可得，再根據離心率求得，由此可得，故可得橢圓的方程．（Ⅱ）由題意可得直線的斜率存在，設出直線方程后與橢圓方程聯立消元后得到一元二次方程，求出直線 與直線的斜率，結合根與系數的關系可得

，根據此式的特點可得當時，為定值．

試題解析：

（Ⅰ）依題意得、，，

∴，

解得．

∵，

∴，

∴，

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）假設存在滿足條件的點.

當直線與軸垂直時，它與橢圓只有一個交點，不滿足題意.

因此直線的斜率存在，設直線的方程為，

由消去整理得

，

設、，

則，，

∵

，

∴要使對任意實數，為定值，則只有，

此時．

故在軸上存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值．