Question

【題目】某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）．
（Ⅰ）將V表示成r的函數V（r），并求該函數的定義域；
（Ⅱ）討論函數V（r）的單調性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵蓄水池的側面積的建造成本為200πrh元， 底面積成本為160πr2元，
∴蓄水池的總建造成本為200πrh+160πr2元
即200πrh+160πr2=12000π
∴h= （300﹣4r2）
∴V（r）=πr2h=πr2 （300﹣4r2）= （300r﹣4r3）
又由r＞0，h＞0可得0＜r＜5
故函數V（r）的定義域為（0，5 ）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）= （300r﹣4r3），（0＜r＜5 ）
可得V′（r）= （300﹣12r2），（0＜r＜5 ）
∵令V′（r）= （300﹣12r2）=0，則r=5
∴當r∈（0，5）時，V′（r）＞0，函數V（r）為增函數
當r∈（5，5 ）時，V′（r）＜0，函數V（r）為減函數
且當r=5，h=8時該蓄水池的體積最大
【解析】（I）由已知中側面積和底面積的單位建造成本，結合圓柱體的側面積及底面積公式，根據該蓄水池的總建造成本為12000π元，構造方程整理后，可將V表示成r的函數，進而根據實際中半徑與高為正數，得到函數的定義域；（Ⅱ）根據（I）中函數的定義值及解析式，利用導數法，可確定函數的單調性，根據單調性，可得函數的最大值點．