Question

【題目】如圖，三棱柱中，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）若，直線與平面所成角為45°，為的中點，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）首先過點作，垂足為，根據，得到平面，從而得到.又因為得到，，從而得到平面，由此即證平面平面.

（2）首先以為坐標原點，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，根據直線與平面所成角為得到，，再利用向量法求二面角的余弦值即可.

（1）

過點作，垂足為.

因為，交于點，

所以平面.

又因為平面，故.

因為，，

所以為等腰直角三角形，則.

又因為，，

所以，故，

故，.

因為，平面，，所以平面.

又因為平面，故平面⊥平面.

（2）由（1）知平面.

以為坐標原點，，，所在直線為，，軸，

建立空間直角坐標系.

因為直線與平面成角為45°，而，

所以直線與平面成角為，

而是直線與平面所成角，故.

所以，，，，，，，

，

設平面的法向量為，

則，令，得.

因為平面，所以為平面的一條法向量，.

所以，

二面角的余弦值為.