Question

【題目】已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析;(3)見解析.

【解析】分析：

詳解：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定的范圍即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，從而證明結(jié)論．

（3）證明：由題意得是兩根，∴①，②，

可得，要證明，只需證，即

令，所以只需證在成立即可，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，可證成立.

設(shè)，

所以在是增函數(shù)，∴

即成立.

（1），定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，∴在遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，

所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)

又因?yàn)?/span>時(shí)，，時(shí)，，

要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只需，

∴

（2）在是減函數(shù)，∵，

∴存在唯一的，使，即，所以，

即

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)

∴

在上，∵，∴

∴，即成立

（3）證明：由題意得是兩根，∴①，②，

①②得，，得，

要證明，只需證，即證

所以只需證，即

令，所以只需證在成立即可

設(shè)，

所以在是增函數(shù)，∴

即成立.