Question

已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓x²+3y²=4上，對角線BD所在直線的斜率為l.
（Ⅰ）當直線BD過點（0，1）時，求直線AC的方程；
（Ⅱ）當∠ABC=60°，求菱形ABCD面積的最大值.

Answer 1

解： （Ⅰ）由題意得直線BD的方程為y=x+1.
因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.
于是可設直線AC的方程為y=-x+n.
由得
因為A，C在橢圓上，
所以△＝-12n²+64＞0，解得
設A，C兩點坐標分別為（x₁,y₁），(x₂,y₂)，
則
所以
所以AC的中點坐標為
由四邊形ABCD為菱形可知，點在直線y=x+1上，
所以，解得n=-2．
所以直線AC的方程為，即x+y+2=0．
（Ⅱ）因為四邊形ABCD為菱形，且,
所以
所以菱形ABCD的面積
由（Ⅰ）可得
所以
所以當n=0時，菱形ABCD的面積取得最大值.

略