Question

已知函數．其圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為，且過點．
（I）函數f（x）的達式；
（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分別是角A、B、C的對邊，，，角C為銳角．且滿，求c的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由二倍角的三角函數公式和輔助角公式，化簡得f（x）=sin（ωx+φ-）+，結合圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為和點在函數圖象上，建立關于ω、φ的關系式，解之即可得到函數f（x）的達式；
（II）將代入函數表達式，解出sinC=，結合C為銳角，算出cosC=．根據面積正弦定理公式，由S_△ABC=2算出b=6，最后由余弦定理代入題中的數據即可求出邊c的值．
解答：解：（I）∵=sin（ωx+φ），=[1-cos（ωx+φ）]
∴
=sin（ωx+φ）+[1-cos（ωx+φ）]=sin（ωx+φ-）+
∵函數圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為，∴函數的周期T==π，得ω=2
∵點是函數圖象上的點，
∴f（）=sin（2×+φ+）+=1，解之得cosφ=
∵φ∈（0，），∴φ=
因此，函數f（x）的達式為f（x）=sin（2x+）+；
（II）f（-）=sin（C-+）+=，解之得sinC=
∵0＜C＜，∴cosC==
又∵a=，S_△ABC=2
∴×a×b×sinC=2，即××b×=2，解之得b=6
根據余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC=5+36-2××6×=21
∴c=，即得c的值為．
點評：本題給出三角函數式，根據函數的圖象特征求函數表達式，并依此解三角形ABC的邊c的長，著重考查了三角恒等變換、正余弦定理和三角函數的圖象與性質等知識，屬于基礎題．