Question

已知指數函數y=g（x）滿足：g（2）=4，定義域為R的函數f（x）=是奇函數．
（1）確定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據指數函數y=g（x）滿足：g（2）=4，即可求出y=g（x）的解析式；
（2）由題意知f（0）=0，f（1）=-f（-1），解方程組即可求出m，n的值；
（3）由已知易知函數f（x）在定義域f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．我們可將f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉化為一個關于實數t的不等式組，解不等式組，即可得到實數t的取值范圍．
解答：解：（1）∵指數函數y=g（x）滿足：g（2）=4，
∴g（x）=2^x；
（2）由（1）知：f（x）=是奇函數．
因為f（x）是奇函數，所以f（0）=0，即，∴n=1；
∴f（x）=，又由f（1）=-f（-1）知
，∴m=2；
（3）由（2）知f（x）=，
易知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數．
又因f（x）是奇函數，從而不等式：
f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因f（x）為減函數，由上式推得：t²-2t＞k-2t²，
即對一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0，解得：k＜．
點評：本題考查的知識點：待定系數法求指數函數的解析式，函數的奇偶性和函數單調性的性質，其中根據函數的單調性將f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉化為一個關于實數t的不等式組是解答本題的關鍵，體現了轉化的思想，考查了運算能力和靈活應用知識分析解決問題的能力，屬中檔題．