Question

在底面邊長為a，側棱長為2a的正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，求：

(1)點B到平面AB₁C的距離；

(2)以B₁C為棱，AB₁C和BB₁C為面所成二面角的正切值．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如圖，設點E為AC的中點，作BO⊥B1E于O， ∵AC⊥BE，BB1⊥平面ABCD． ∴AC⊥平面BB1E．又BO面BB1E， ∴AC⊥BO．B1E∩AC=E， ∴BO⊥平面AB1C， ∴BO為B到平面AB1C的距離． 在Rt△B1BE中，BE=a，BB1=2a， ∴B1E=． 由面積關系得BO=． (2)由BO⊥平面AB1C，AF⊥B1C， ∴BF⊥B1C， ∴∠BFA是二面角A—B 1C—B的平面角． 在Rt△BB1C中，BF·B1C=BB1·BC． ∴BF=a． ∴tanBFA=AB∶BF=． 點評：(2)中作二面角用的方法是較常用的方法，這種方法的步驟是：過二面角的一個面內的一點(本例中的點B)向另一個半平面作垂線，再過垂足(本例中的點O)向棱(本例中的B1C)作垂線(本例中的OF)，再連結BF，則由三垂線定理知∠BFO為二面角A—B1C—B的平面角．