Question

【題目】如圖①，在中，為直角，，，，沿將折起，使，得到如圖②的幾何體，點在線段上.

（1）求證：平面平面；

（2）若平面，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由余弦定理得出，進而得出；由平面，得出；從而得到平面，即可證明平面平面.

（2）建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，即可求得直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：在中，

∵，，，

由余弦定理得，

∴，

∴，∴，即，

又，，，

∴平面，平面

∴，

又，平面∴平面

又平面，∴平面平面

（2）解法一：

如圖，以為原點，以為軸，為軸，過點垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

則，，，，，

∴，，

連結與交于點，連結，

∵平面，為平面與平面的交線，

∴，∴，

在四邊形中，∵，∴，

∴，，∴，

設，則，

由，得，∴，∴

設平面的法向量為，

則，取，則，，

∴，

設直線與平面所成角為，則.

即直線與平面所成角的正弦值為.

（2）解法二：

如圖，以為原點，在平面中過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

則，，，，，

∴，，

連結，與交于點，連結，

∵平面，為平面與平面的交線，

∴，∴，

在四邊形中，∴，∴，

∴，，，

設，則，

由得：解得，∴，

∴.

設平面的法向量，

則，取，則，，

∴，

設直線與平面所成角為，則.

∴直線與平面所成角的正弦值為.