Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA=AB=2，M，N分別為PA，BC的中點．
（Ⅰ）證明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求MN與平面PAC所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PD的中點E，連接ME，CE，證明邊形MNCE是平行四邊形，可得MN∥CE，利用線面平行的判定定理可得MN∥平面PCD；
（Ⅱ）MN與平面PAC所成角等于EC與平面PAC所成角，求出E到平面PAC的距離，即可求MN與平面PAC所成角的正切值．

解答：（Ⅰ）證明：取PD的中點E，連接ME，CE，則ME∥AD，ME=

1

2

AD，
∵N為BC的中點，BC∥AD，∴ME∥CN，ME=CN，
∴四邊形MNCE是平行四邊形，
∴MN∥CE，
∵MN?平面PCD，CE?平面PCD，
∴MN∥平面PCD；
（Ⅱ）解：過E作平面PAC的垂線，垂足為O，則
由（Ⅰ）知，MN與平面PAC所成角等于EC與平面PAC所成角，
∵D到平面PAC的距離為

2

，
∴E到平面PAC的距離為

2

2

，
∵CE=

2+4

=

6

，
∴CO=

6- 1 2

=

22

2

∴MN與平面PAC所成角的正切值為

11

11

．

點評：本題考查線面平行，考查線面角，正確運用線面平行的判定定理是關鍵．